Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Лекция Приложения дифференциального исчисления функции нескольких переменных

Учебные и воспитательные цели:дать системные базы приложения дифференциального исчисления функции нескольких переменных

1. Экстремум функции 2-ух переменных.

2. Нужные и достаточные условия экстремума.

3. Наибольшее и меньшее значения функции в замкнутой области.

Экстремум функции 2-ух переменных

Понятие максимума, минимума, экстремума функции 2-ух переменных подобны подходящим понятиям функции одной Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области независящей переменной.

Пусть функция определена в некой области , точка .

Точка именуется точкой максимума функции , если существует такая - округа точки , что для каждой точки , хорошей от , из этой округи производится неравенство .

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек , хороших от , из - округи точки производится неравенство: . На рис. - точка максимума Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, а - точка минимума функции .


Нужные и достаточные условия экстремума

Аксиома(нужные условия экстремума).

Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее личные производные в этой точке равны нулю: .

Точка, в какой личные производные первого порядка функции равны нулю, т.е. , именуется стационарной точкойфункции .

Стационарные точки и точки, в каких хотя Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области бы одна личная производная не существует, именуются критичными точками.

В критичных точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю личных производных является нужным, но не достаточным условием существования экстремума.

Аксиома(достаточное условие экстремума).

Пусть в стационарной точке и некой ее округи функции имеет непрерывные Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области личные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения . Обозначим .

Тогда:

1. если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если ; минимум, если ;

2. если , то функция в точке экстремума не имеет;

В случае экстремум в точке может быть, может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Пример.

Отыскать экстремум функции Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Решение.

. Точки, в каких личные производные не есть, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки и .

Находим личные производные второго порядка данной функции: .

В точке имеем: , отсюда , т.е. .

Т. к. , то в точке функция имеет локальный максимум:

В точке и, означает, . Проведем дополнительное исследование. Означает, в округи Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области точки функция воспринимает как отрицательные, так и положительные значения. Как следует, в точке функция экстремума не имеет.

Наибольшее и меньшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она добивается в неких точках собственного большего и меньшего значений (т.н. глобальный экстремум). Эти значения Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области достигаются функцией в точках, расположенных снутри области , либо в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения большего и меньшего значений дифференцируемой в области функции состоит в последующем:

1. Отыскать все критичные точки функции, вычислить значение функции в их.

2. Отыскать наибольшее и меньшее значение функции на границах области.

3. Сопоставить все отысканные Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области значения функции и избрать из их меньшее и наибольшее.

Пример.

Отыскать наибольшее и меньшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями:

Решение.

1. Находим все критичные точки: решением системы являются точки ни одна из точек не принадлежит области

2. Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков

На участке , где Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области ,

. Значения функции ,

.

На участке , где . Значения функции .

На участке

Значения функции

3. Сравнивая приобретенные результаты, имеем:

Правило:

1) Отыскать личные производные первого порядка и критичные точки

2) Отыскать личные производные второго порядка и вычислить их значения в критичной точке .

3) Используя достаточное условие (Т.2.2) найти знаки и и прийти к выводу о существовании экстремума Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.


naivisshaya-proizvoditelnost-uchites-uchitsya.html
naivnij-leshij-rasskazi-yumoreski.html
najdem-kolichestvo-zagotovok-kotorie-mozhno-raspolozhit-na-lyulke.html