Найти промежутки монотонности и точки экстремума.

(f'(x) = 0, 3x3-3x2 -6x = 0, x(x2 –x -2) =0, x1=0, x2 =2, x3 =-1, f(-1)=1,25, f(0)=0, f(2)=-8)

x (- ;-1) -1 (-1;0) (0;2) (2; )
f’(x) - + - +
f(x) убывает 1,25 min увеличивается 0-max убывает -8 min растет

  1. Используя результаты исследования, выстроить график.

На первом рисунке отметили точки скрещения графика функции с осями координат ( пункты исследования 4 и 5).

На втором рисунке отметили экстремумы (пункт исследования Найти промежутки монотонности и точки экстремума. 6).

На 3-ем – достроили график на промежутках возрастания и убывания функции (пункт исследования 6) .

Применение производной для нахождения большего и

Меньшего значений функции.

Чтоб отыскать наибольшее и меньшее значение функции f(x) на отрезке [a;b],( к примеру, f(x) = -2x3 - 6x2 +5 на [ -1;1] )нужно:.

1.Отыскать производную функции;( f'(x Найти промежутки монотонности и точки экстремума.) = -6x2 -12x)

2. Отыскать точки, в каких производная равна нулю либо не существует ( критичные точки функции); ( f'(x) = 0;

-6x2 -12x=0,-6x(x+2)=0, x =0, x=-2)

3.Избрать из этих точек те, которые принадлежит промежутку [a;b];( только точка x =0 принадлежит промежутку

[ -1;1] )

4.Вычислить значения функции в избранных критичных точках и на концах промежутка [a;b];( f Найти промежутки монотонности и точки экстремума.(0) =5; f(-1) =1;

f(1) =-3.)

Избрать из этих значений наибольшее и меньшее.

Наибольшее значение функции f(x) = -2x3 -6x2 +5 на [ -1;1] равно 5;

наименьше значение функции f(x) = -2x3 -6x2 +5 на [ -1;1] равно-3.

Применение производной для определения моментальной скорости.

Если движение точки задано уравнением s(t), то в момент времети to

Скорость ее движения равна s Найти промежутки монотонности и точки экстремума.'(t).

К примеру, прямолинейное движение точки задано уравнением

s(t) = 2t2 -8t -10м. Найдите скорость движения в момент времени t =3c.

Решение.

1.Вычислим s' (t)=(2t2 -8t -10)' = 4t -8.

2.Найдем значение s' (2), s' (3)= 4∙3-8 =4(м/c )– это скорость движения в момент времени 3с.

Применение производной к решению геометрических задач

Чтоб отыскать тангенс угла наклона Найти промежутки монотонности и точки экстремума. касательной, к оси абсцисс проведенной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0), необходимо

1.Отыскать производную функции ( f'(x) );

2.Отыскать значение производной в точке x0 ( f'(x0) );

3. Приобретенное значение будет равно тангенсу угла наклона, т.е. tgα = f'(x0).

К примеру: Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной Найти промежутки монотонности и точки экстремума. к графику функции у = x2 в точке с абсциссой x0 = 0,5.

1. Найдем производную функции f(x) = x2, f''(x) = 2x.

2. Найдем значение производной в точке x0 = 0,5, f''(0,5) = 1.

3. Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен 1.

Можно найти угол наклона касательной к оси абсцисс:

он равен 45˚, т.к Найти промежутки монотонности и точки экстремума.. tg45˚ = 1.

8.Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0))

Чтоб составить уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0)), нужно

1.Записать уравнение касательной к графику функции в точке f(x) в точке (x0 ; f(x0)):

у =f'(x0)x- f'(x0)x0 + f(x Найти промежутки монотонности и точки экстремума.0);

2. Отыскать значение производной в точке x0( f'(x0) );

3. Отыскать значение функции в точке x0( f(x0) );

Подставить отысканные значения в уравнение пт 1.

К примеру:

Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции

y = x3+1 в точке ( 1; 2).

1. Запишем уравнение касательной:

у =f'(x0)x- f'(x0)x0 + f(x0);

2.Найдем значение Найти промежутки монотонности и точки экстремума. производной в точке x0 =1:

f'(x) = 3x2, f'(1)=3;

3.Найдем значение функции в точеке x0 =1: f(1) =2;

4. Подставим отысканные значения в уравнение:

у =3x - 3∙1 + 2;

у =3x – 1- это уравнение касательной, проведенной к графику функции

y = x3+1 в точке ( 1; 2).


najdite-oshibku-v-tekste-i-ispravte-ee.html
najdite-samuyu-podhodyashuyu-dlya-vashego-mozga-fizicheskuyu-aktivnost.html
najdite-sluchai-tavtologii-i-ispravte-frazi.html